除了利用python生成的矩形方波信号以外，还采用了两段音频文件验证了FFT：
sample_rate, samples = wavfile.read('test1.wav')
noise = 3000 * np.random.randn(len(samples))
samples = list(np.array(samples) + noise)
cut_samples_1 = sample_array(samples, 5)其 平均噪音幅度: 平均纯音幅度 为 3:10。
输入的音频文件样本点密度足够大（如 test1.wav 采样密度 48000 个/秒），即使已经完成离散化，仍可以近似看作是模拟信号。
将音频文件直接输入函数中，样本点过于密集，作图不清晰。定义 sample_array，其输入为读取的音频文件的列表 Samp 以及采样间隔 n：
def sample_array(Samp, n):
"""
声音信号采集样本点数可能过多，
需采样降低样本点密度，
方便绘图
n:抽样周期
"""
sampled_values = []
for i in range(0, len(Samp), n):
sampled_values.append(Samp[i])
return sampled_values适当选取采样间隔，能够使得在对准确度影响不大的情况下，大幅减小运算时间并适当提高绘图精度。经过该函数“采样”的列表，完成了输入信号的预处理。
定义 HandmadeFFT 类，提供类方法 HandmadeFFT.fft 与 HandmadeFFT.plot_fft。
采用 2 为基的时间抽选 FFT 算法，需保证数组总长度为 2 的整数次幂。故判断输入数组的长度并将其增广为 2 的整数次幂。得到用于参与运算的两个参数：
self.ext_N = 2**(len(signal) - 1).bit_length()
self.ext_signal = list(self.signal) + [0.0] * (self.ext_N - len(self.signal))HandmadeFFT.fft 实现具体的运算过程：迭代地将序列拆分，并采用蝶形运算。
HandmadeFFT.plot_fft 实现了对单侧频谱的绘制。
以下是关于类的完整定义：
class HandmadeFFT:
def __init__(self, signal, time):
self.signal = signal
self.N = len(signal)
self.time = time
self.ext_N = 2**(len(signal) - 1).bit_length()
self.ext_signal = list(self.signal) + [0.0] * (self.ext_N -
len(self.signal))
def fft(self):
if self.ext_N <= 1:
return self.ext_signal
even = HandmadeFFT(self.ext_signal[::2],self.time).fft()
odd = HandmadeFFT(self.ext_signal[1::2],self.time).fft()
T = [np.exp(-2j * np.pi * k / self.ext_N) * odd[k] for k
in range(self.ext_N // 2)]
return [even[k] + T[k] for k in range(self.ext_N // 2)] + \
[even[k] - T[k] for k in range(self.ext_N // 2)]
def plot_fft(self):
fft_vals = np.array(self.fft())
P2 = np.abs(fft_vals / self.ext_N)
P1 = P2[:self.ext_N // 2] * 2 # 单侧频谱
freq =1000 * np.fft.fftfreq(self.ext_N, 1)
f = np.linspace(0, (len(self.ext_signal)/self.time) / 2,
self.ext_N // 2)
plt.figure()
plt.plot(f, P1)
plt.xlabel('Frequency')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.title('FFT of the signal')
plt.show()
矩形方波的参数为幅度 E=1.0，脉冲时长 T=0.1。采样时间为 1s，采样频率 fs = 1000Hz。根据理论分析，其离散傅里叶变换为
当且仅当 k = 10m (m = 01,2,3...) 时，值不为零。从图像看出，0 ~ 100Hz 的范围内有 10 个峰。初步判断运算正确。 值得注意的是，每个峰周围的序列并非严格取 0，而是有幅值的迅速衰减，这与 DFT 的理论分析有所出入。这将在第四节被分析。
选取的纯音频率为 2700Hz，加入幅度约为纯音幅度 0.3 倍的随机噪音，从频谱图上看，与预期结果大致相当。
人谈话的声音频率在 500 ~ 2000Hz 之间。频谱图中主要的声音信号集中在这一区间，证明程序设计的正确性。
在大约 600 ~ 700Hz 的区域内出现了一个突出峰，尚不清楚其原因。
高于 2000Hz，频域幅度逐渐衰减。此范围内主要为高频噪音。
以矩形方波信号为例。
前面提到矩形方波频谱应该是 10 的整数倍时出现的陡峭的峰。如果信号足够理想，应该仅在 f = 10m（m为整数）处观察到峰的出现，其余值均为 0。实际上，无论如何优化采集方法，我们一定得不到这样的峰。这是由于信号采样时长不是无穷大引起的。直观上说，对一个自然信号的观察（采集）时间愈长，我们能够断言其一定是某频率信号的可能性愈大。举生活中的例子，譬如对两盏闪烁的灯持续观察，一开始二者的亮灭在肉眼看来同步，但随着观察时间延长，二者频率之间细微的差异会被逐渐放大，直至可以断言异步。这就是延长时间能够增加频率分辨率的道理。
将采样时间推至极限来说，对一个信号做无穷时长的傅里叶分析，我们一定能够清楚地区分开里面的所有频率的信号。然而实际的信号采样时长都是有限的，这就导致可能对于频率十分接近的两个谐波，我们分不清二者到底谁是这个自然信号的组成部分，抑或是二者都有。从频谱上说，有限时长的信号，其频谱中各个峰的变化一定是“缓变”的。
在延长抽样总时长至 5s 的基础上重复分析，得到下面的频谱图，其频谱的离散化进一步提高，频率分辨率亦得到提高。通过分析，我们可以断言矩形信号中确切地含有某些值的谐波成分：
可见提高抽样时长能够提高频率分辨率。